安徽自考04184线性代数(经管类)知识点押题资料

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　　第1部分

　　(一)行列式的定义

　　行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

　　1.二阶行列式

　　

 

　　2.三阶行列式

　　

称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢?教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

　　3.余子式及代数余子式

　　

对任何一个元素aij我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成

　　一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成Mij.

　　

再记 Aij =(-1)i+jMij,称Aij为元素aij的代数余子式

 

　　例如A11= M11，A21=-M21，A31= M31

　　那么，三阶行列式D，定义为

　　

　　我 们 把 它 称 为 D，按 第 一 列 的 展 开 式 ，经 常 简 写 成

　　

 

　　(二)行列式的性质

　　性质1 行列式和它的转置行列式相等，即 D= D7

　　性质2 用数 k乘行列式 D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

　　性质 3 互换行列式的任意两行(列)，行列式的值改变符号.推论 1 如果行列式中有某两行(列)相同，则此行列式的值

等于零.

　　推论2 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.

　　性质 4 行列式可以按行(列)拆开.

　　性质 5 把行列式 D 的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行(列)的对应元素上去，所得的行列式仍为 D定理1(行列式展开定理)

　　(三)行列式的计算

　　行列式的计算主要采用以下两种基本方法;

　　(1)利用行列式性质，把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上(一1)，在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新的行列式前面乘上 k.

　　(2)把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个"0"元素，再按这一行或这一列展开∶

　　解∶观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第1行的元素是a，=1，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.

　　

　　解∶方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0 值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为α+3b(我们把它称为行和相同行列式)，我们可以先把后三列都加到第1列上去，提出第1列的公因子a+3b，再将后三行都减去第1行;

　　方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用"加边法"来计算，即是构造一个与D，有相同值的五阶行列式∶

　　

　　这样得到一个"箭形"行列式，如果q=b，则原行列式的值为零，故不妨假设a ≠b，

　　即a-b≠0，把后四列的-倍加到第1列上，可以把第1列的(一1)化为零. a-b

　

　　称为一个m 行n列矩阵或m×n矩阵

　　当m=n时，称A= (aij)mxn为n阶矩阵或n 阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Omxn或 O表示　　

　　3.矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号""与矩阵记号"(*)"也不同，不能用错.

　　(二)矩阵的运算

　　1. 矩阵的同型与相等　　

　　阵.若A与B同型，且对应元素相等，即a。=b，则称矩阵A与B相等，记为A= B.

　　因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.

　　2.矩阵的加、减法　　

　　故数k与矩阵A 的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k 与行列式D的乘积，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同。

　　矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.

　　4.乘法运算　　

　　由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵 B 的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行数，AB 的列数为 B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵 A中某一行元素与右矩阵 B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.

　　故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地∶

　　①不满足交换律，即AB ≠ BA

　　②在AB = 0时，不能推出A=0或B =0，因而也不满足消去律。

　　特别，若矩阵 A与B 满足AB= B4，则称A 与 B 可交换，此时A与B必为同阶方阵.

　　矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.

　　5.方阵的乘幂与多项式方阵　　

　　称 f(A)为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵

　　6.矩阵的转置

　　设A为一个m×n矩阵，把A中行与列互换，得到一个n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记为 AT，转置运算满足以下运算律∶

　　

　　由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义

　　设A为一个n阶方阵，若A满足AT=A，则称A为对称矩阵，若A满足AT=-A，则称A为反对称矩阵.

　　7.方阵的行列式

　　矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.

　　设 A=(a)为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式|aij|n称为方阵。

　　A的行列式，记为|A|。

　　方阵的行列式具有下列性质∶设A，B为n阶方阵，k为数，则　　

　　(三)方阵的逆矩阵

　　1.可逆矩阵的概念与性质

　　设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足AB= BA=E，则把 B

　　称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵 B记为A-1，从而A与A-1首先必可交换，且乘积为单位方阵 E.

　　逆矩阵具有以下性质∶设A，B为同阶可逆矩阵，k ≠0为常数，则

　　①A-1是可逆矩阵，且(A-1)-1=A;

　　②AB是可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1;

　　③KA是可避矩阵，且(kA)-1=A-1

　　④A是可逆矩阵，且(AT)-1=(A-1)T

　　⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即

　　设P为可逆矩阵，则PA=PB ⟺ A=B AP=BP⟺ A=B

　　2.伴随矩阵

　　设A=(aij)为一个n阶方阵，Aij为A的行列式|A|=|aij|n中元素aij的代数余子　　

　　伴随矩阵必满足

　　AA*=A*A=|A|E

　　|A*|=|A|n-1(n为A的阶数)

　　3. n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法

　　定理∶n阶方阵A可递⟺ |A|=0，且A-1=A❋

　　推论∶设A，B均为n阶方阵，且满足AB=E，则A，B都可逆，且A-1=B，

　　B-1=A　　

　　(四)分块矩阵

　　1.分块矩阵的概念与运算

　　对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.

　　在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵 B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时 A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块.

　　2.准对角矩阵的逆矩阵

　　

　　(五)矩阵的初等变换与初等方阵

　　1.初等变换

　　对一个矩阵 A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行(列)变换，统称为初等变换，

　　(1)交换A的某两行(列);

　　(2)用一个非零数k乘A的某一行(列);

　　(3)把A中某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)上.

　　注意∶矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用" →"连接前后矩阵.

　　初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.

　　2.初等方阵

　　由单位方阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.

　　由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为Pij，Di(k)和Tij(k)，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.

　　3.初等变换与初等方阵的关系

　　设A为任一个矩阵，当在 A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A作同类型的初等行变换;在 A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.

　　4.矩阵的等价与等价标准形

　　若矩阵 A经过若干次初等变换变为B，则称 A与 B 等价，记为A≌B

　　5.用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵

　　设A为任一个n阶可逆矩阵，构造n×2n矩阵(A，E)然后 (A，E)→(E，A')

　　注意∶这里的初等变换必须是初等行变换.

　　(六)矩阵的秩

　　1. 秩的定义

　　设A为m×n矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩(A)或r(4)

　　零矩阵的秩为0，因而0≤秩(A)≤min{m，n}，对n阶方阵A，若秩(A)=n，称 A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.

　　2.秩的求法

　　由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.

　　3.与满秩矩阵等价的条件

　　n阶方阵A 满秩⟺ A可逆，即存在 B，使AB = B4=E→A非奇异，即A ≠0

　　⟺ A的等价标准形为 E

　　⟺ A可以表示为有限个初等方阵的乘积

　　⟺ 齐次线性方程组AX= 0)只有零解

　　⟺ 对任意非零列向量b，非齐次线性方程组，AX =b有仅有解 A的行(列)向量组线性无关

　　⟺ A的行(列)向量组为Rn的一个基

　　⟺ 任意n维行(列)向量均可以表示为A 的行(列)向量组的线性组合，且表示法仅有.

　　⟺ A的特征值均不为零

　　⟺ AT A为正定矩阵.

　　(七)线性方程组的消元法.

　　

　　可以表示成矩阵形式AX=b，其中A=(aij)m×n为系数矩阵，

　　b=(b1，b2，.…，bm)T为常数列矩阵，X =(x1，x2，.，xn，)T为未知元列矩阵.

　　从而线性方程组 AX =b与增广矩阵A=(4，b)一一对应.

　　对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.

　　第三部分

　　(一)n 维向量的定义与向量组的线性组合

　　1.n 维向量的定义与向量的线性运算

　　由n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，若用一行表示，称为n维行向量，即1×n矩阵，若用一列表示，称为n维列向量，即n×1矩阵

　　与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.

　　2.向量的线性组合

　　设α1，α2，…，αm是一组n维向量，k1，k2，…，km是一组常数，则称 k1α1+k2α2+…+kmαm

　　为α1，α2，…，αm的一个线性组合，常数k1，k2，…，km称为组合系数.

　　若一个向量 β可以表示成 k1α1+k2α2+…+kmαm

　　则称β是α1，α2，…，αm的线性组合，或称β可用α1，α2，…，αm线性表出.

　　3.矩阵的行、列向量组

　　设A为一个m×n矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的列向量组.

　　若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.

　　4.线性表示的判断及表出系数的求法.

　　向量 β 能用α1，α2，…，αm线性表出的充要条件是线性方程组

　　X1α1+x2α2+…+xmam=β有解，且每一个解就是一个组合系数.

　　

　　(二)向量组的线性相关与线性无关

　　1. 线性相关性概念

　　设α1，α2，…，αm是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数k1，k2，…，km，使得

　　k1α1+k2α2+…+kmαm=O，则称向量组α1，α2，…，αm，线性相关，称k1，k2，…，km为相关系数.否则，称向量α1，α2，…，αm线性无关.

　　由定义可知，α1，α2，…，αm线性无关就是指向量等式

　　k1α1+k2α2+…+kmαm=O当且仅当k1=k2=…=km=0时成立.

　　特别 单个向量α线性相关⟺ α=0;

　　单个向量α 线性无关⟺ α≠ 0

　　2.求相关系数的方法

　　设α1，α2，…，αm为m个n维列向量，则α1，α2，…，αm线性相关⟺ m元齐次线性方程组x;α+x，α。+…+xα。=0有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数⟺ 矩阵 A = (α1，α2，…，αm)的秩小于m

　　例2 设向量组α1=(2，-1，7)T，α2=(1，4，11)T，α3=(3，-6，3)T，试讨论其线性相关性.

　　解∶考虑方程组x1α1 +x2α2 +x3α3 = 0

　　

　　3.线性相关性的若干基本定理

　　定理1 n维向量组α1，α2，…，αm线性相关台 至少有一个向量是其余向量的线性

　　组合.即α1，α2，…，αm线性无关⟺ 任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.

　　定理2 如果向量组α1，α2，…，αm线性无关，又β，α1，α2，…，αm线性相关，则β可以用α1，α2，…，αm线性表出，且表示法是仅有的.

　　定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.

　　定理 4 无关组的接长向量组必无关.

　　(三)向量组的极大无关组和向量组的秩

　　1.向量组等价的概念

　　若向量组 S可以由向量组R 线性表出，向量组 R也可以由向量组 S 线性表出，则称这两个向量组等价.

　　2.向量组的极大无关组

　　设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由 S 线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.

　　显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.

　　对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是仅有的，但有以下性质∶定理1 向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组

　　等价.

　　定理2 向量组T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.

　　3.向量组的秩与矩阵的秩的关系

　　把向量组 T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组 T的秩.

　　把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A 的列秩.定理∶ 对任一个矩阵 A，A的列秩=A的行秩=秩(A)

　　此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵 A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.

　　例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出a1=(11-2,7)),a2=(-I,-2,2,-9),a3=(-I,I,-6,6),a4=(2,1,4,3),a5=(2,4,4,3)

　　解∶把所有的行向量都转置成列向量，构造一个4×5矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵

　　

　　易见B 的秩为 4，A的秩为 4，从而秩{α1，α2，，α3，α4，α5}=4，而且B中主元位于第1、二、三、五列，那么相应地α1，α2，，α3，α4，α5为向量组的一个极大无关组，而且a4=-α2-a3

　　(四)向量空间

　　1.向量空间及其子空间的定义

　　定义1 n维实列向量全体(或实行向量全体)构成的集合称为实n维向量空间，记作Rn

　　定义2 设V是n 维向量构成的非空集合，若 V对于向量的线性运算封闭，则称

　　集合 V是Rn的子空间，也称为向量空间.

　　2. 向量空间的基与维数

　　设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.

　　显然，n维向量空间Rn的维数为n，且Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的

　　一个基.

　　3.向量在某个基下的坐标

　　设α1，α2，，…，αr，是向量空间Ⅴ的一个基，则Ⅴ中任一个向量α 都可以用

　　α1，α2，…，αr，仅有地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量α在此基下的坐标.

　　第四部分

　　(一) 线性方程组关于解的结论

　　定理1 设 AX =b为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是r(A,b)= r(A)

　　定理2 当n元非齐次线性方程组 AX =b有解时，即r(A，b)=r(A)=r时，那么

　　(1)AX=b有仅有解⟺ r= n;(2)AX= b有无穷多解⟺ r

　　定理3 n元齐次线性方程组AX =0有非零解的充要条件是r(A)=r

　　推论1 设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX=0有非零解⟺ |A|=0

　　推论2 设A为m×n矩阵，且m

　　(二)齐次线性方程组解的性质与解空间

　　首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.

　　考虑由齐次线性方程组 AX = 0的解的全体所组成的向量集合

　　

　　显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间Rn的一个子空间，我们称 V为方程组 AX = 0的解空间

　　(三)齐次线性方程组的基础解系与通解

　　把n元齐次线性方程组 AX =0的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系。

　　当n元齐次线性方程组AX=0有非零解时，即r(A)=r

　　求基础解系与通解的方法是∶

　　对方程组AX=0先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.

　　

　　(四)非齐次线性方程组

　　1.非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组(即导出组)的解之间的关系

　　设AX =b为一个n元非齐次线性方程组，AX=0为它的导出组，则它们的解之间有以下性质∶

　　

　　由这两个性质，可以得到 AX = b的解的结构定理∶

　　定理 设A是m×n矩阵，且r(A，b)=r(A)=r，则方程组AX=b的通解为

　　其中η∗为AX=b的任一个解(称为特解)，

　　为导出组AX =0的一个基础解系.

　　2.求非齐次线性方程组的通解的方法

　　对非齐次线性方程组 AX =b，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.

　　

　　有仅有解?有无穷多解?无解?在有无穷多解时，求出通解.解∶对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵∶

　　

　　令x3=k1，x4=k2，为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为

　　

　　√关于e1，e2.…，en:

　　①称为Rn的标准基，Rn中的自然基，单位坐标向量;

　　②e1，e2.…，en线性无关;

　　③|e1，e2.…，en|=1;

　　④tr(E)=n;

　　⑤任意一个n维向量都可以用e，e，…，e，线性表示.

　　√行列式的计算∶　　

　　②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

　　

　　√ 逆矩阵的求法∶　　

　　√ 方阵的幂的性质∶AmAn= Am+n (Am)n=(A)mn

　　√设f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0，对n阶矩阵A规定∶

　　f=(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E为A的一个多项式.

　　√ 设 Am×n，Bm×n，A的列向量为α1，α2，…，αn，B的列向量为β1，β2，…，β5，AB的列向量为r1,r2…,rs

　　

　　√ 用对角矩阵A左乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;

　　用对角矩阵A右乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.

　　√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，

　　√ 矩阵方程的解法∶ 设法化成(I)AX=B 或 (II)XA=B 当|A|≠0时，

　　(I)的解法∶ 构造(A∶B)—初等行变换(E:X)

　　(当B为一列时，即为克莱姆法则)

　　(II)的解法∶将等式两边转置化为AT XT= BT，

　　用(I)的方法求出XT，再转置得X

　　√ A=o和Bx=o同解(A，B列向量个数相同)，则∶

　　① 它们的极大无关组相对应，从而秩相等;

　　② 它们对应的部分组有一样的线性相关性;

　　③它们有相同的内在线性关系.

　　√ 判断η1，η2，…，n7，是Ax=O的基础解系的条件∶

　　①η1，η2，…，n7线性无关;

　　②η1，η2，…，n7是Ax=0的解;

　　③ s=n-r(A)=每个解向量中自由变量的个数.

　　① 零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交.

　　② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.

　　③ 部分相关，整体必相关;整体无关，部分必无关.

　　④ 原向量组无关，接长向量组无关;接长向量组相关，原向量组相关.

　　⑤ 两个向量线性相关⟺ 对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关.

　　⑥ 向量组α1，α2，…，αm中任一向量αi(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

　　⑦ 向量组α1，α2，…，αm线性相关台向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示.

　　⑧ m维列向量组α1，α2，…，αm线性相关→r(4)

　　m维列向量组α1，α2，…，αm线性无关台r(4)=n.

        ⑨r(4)=0台4=o.

　　⑩ 若α1，α2，…，αm，线性无关，而α1，α2，…，αm，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αm线性表示，且表示法惟一

　　11) 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

　　阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

　　12) 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系.

　　矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.向量组等价

　　α，α，…，α，和A，β，…，B，可以相互线性表示. 记作∶{α，α，…，α，}={B，B，…，B}矩阵等价

　　4经过有限次初等变换化为B. 记作∶ A三 B

　　13矩阵A与B等价⟺ r(A)=r(B)≠>A，B作为向量组等价，即∶ 秩相等的向量组不一定等价.

　　矩阵A与B作为向量组等价台r(α1，α2，…，αn)=r(β1，β2，…，βn)=r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)⟺ 矩阵A与B等价.

　　14 向量组β1，β2，…，βn可由向量组α1，α2，…，αn线性表示

　　→r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)=r(α1，α2，…，αn)→r(β1，β2，…，βn)≤r(α1，α2，…，αn).

　　15.向量组β1，β2，…，βn可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，且s>n，则β1，β2，…，βn线性相关.

　　向量组β1，β2，…，βn线性无关，且可由α1，α2，…，αn线性表示，则s≤n.

　　16.向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αn，线性表示，且r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αn)，则两向量组等价;

　　17.任一向量组和它的极大无关组等价.

　　18.向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等.

　　19若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.

　　20若A是mxn矩阵，则r(A)≤min{m，n}，若r(A)=m，A的行向量线性无关∶

　　若r(A)=n，A的列向量线性无关，即∶

　　α1，α2，…，αn，线性无关.

　　

　　

 

　　

 

　　③不同特征值的特征向量必定正交;

　　④ k 重特征值必定有k个线性无关的特征向量;

　　⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n个线性无关的特征向量，A可能有重

　　的特征值，重数=n-r(λE-A)).

　　A可以相似对角化 A与对角阵A相似. 记为∶A～A (称A是A的相似标准型)

　　√ 若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重数重复计算)=r(A4).

　　√ 设αi，为对应于λi，的线性无关的特征向量，则有∶

　　若A～B，则f(A)~f(B)，|f(A)|=|f(B)|

　　二次型

　　f(x1，x2，…，xn)=XTAX A为对称矩阵 X=(x1，x2，…，xn)

　　A与B合同 B=C TAC.记作∶ A≌B (A，B为对称阵，C为可逆阵)

　　√ 两个矩阵合同的充分必要条件是∶它们有相同的正负惯性指数.

　　√ 两个矩阵合同的充分条件是∶A~B

　　√ 两个矩阵合同的必要条件是∶r(A)=r(B)

　　

　　√二次型的标准型不是惟一的，与所作的正交变换有关，但系数不为零的个数是由 r(A)正惯性指数+负物性指数惟一确定的.

　　√ 当标准型中的系数d，为1，-1 或0时，则为规范形

　　√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.

　　√ 用正交变换法化二次型为标准形∶

　　① 求出 A的特征值、特征向量;

　　② 对n个特征向量单位化、正交化;

　　③ 构造C(正交矩阵)， C-1AC=A;　　

　　特征值.

　　正定二次型 x1，x2，…，xn，不全为零，f(x1，x2，…，xn)>0.

　　正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.

　　√ 合同变换不改变二次型的正定性.

　　√ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立)∶

　　① 正惯性指数为n;

　　② A的特征值全大于0;

　　④ A合同于E，即存在可逆矩阵Q使QTAQ=E;

　　⑤ 存在可逆矩阵P，使A=P'P(从而4>0);　　

　　√成为正定矩阵的必要条件∶aij>0 ; |A|>0.

　　第五部分∶ 公式必记

　　1、行列式

　　1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式∶

　　2. 代数余子式的性质∶

　　①、Aij和aij的大小无关;

　　②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;

　　③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A|;

　　3. 代数余子式和余子式的关系∶ Mij=(-I)i+jAij Aij=(-I)i+jMij

　　4. 设n行列式D∶

　　将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1=(-1)D;

　　将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D1，则D1=(-1)D∶

　　将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为D3，，则D3，=D;

　　将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D3=D;

　　5. 行列式的重要公式∶

　　①、主对角行列式∶主对角元素的乘积;

　　②、副对角行列式∶ 副对角元素的乘积×(-1)

　　③、上、下三角行列式(|◥|=|◣|)∶主对角元素的乘积;

　　④、|◥|和|◣|∶副对角元素的乘积×(-1)

　　

　　⑥、范德蒙行列式∶ 大指标减小指标的连乘积;

　　⑦、特征值;

　

　　7.证明|A|=0的方法∶

　　①、|A|=-|A|

　　②、反证法∶

　　③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解;

　　④、利用秩，证明r(A)

　　⑤、证明0是其特征值;

　　2、矩阵

　　1. A是n阶可逆矩阵∶

　　⟺ |A|≠0(是非奇异矩阵);

　　⟺ r(A)=n(是满秩矩阵)

　　⟺ A的行(列)向量组线性无关;

　　⟺ 齐次方程组Ax=0有非零解;

　　⟺ ∀b∈Rn，Ax=b总有仅有解;

　　⟺ A与E等价;

　　⟺ A可表示成若干个初等矩阵的乘积;

　　⟺ A的特征值全不为0∶

　　⟺ ATA是正定矩阵;

　　⟺ A的行(列)向量组是 Rn的一组基;

　　⟺ A是 Rn中某两组基的过渡矩阵∶

　　2. 对于n阶矩阵A∶AAn=AnA=|A|E 无条件恒成立;

　　4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头; 行列式是数值，可求代数和∶

　　5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆∶

　　

　　3、矩阵的初等变换与线性方程组

　　

　　等价类∶ 所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B，若r(A)=r(B)⟺ 4～B;

　　2. 行最简形矩阵∶

　　①、只能通过初等行变换获得∶

　　②、每行头个非 0元素必须为1;

　　③、每行头个非 0元素所在列的其他元素必须为 0;

　　3.初等行变换的应用∶ (初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)

　　①、若(A，E)’～(E，X)，则A可逆，且X=A-1;

　　②、对矩阵(A，B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成才A-1B，即∶(A，B)~(E，A-1B);

　　③、求解线形方程组∶对于n个未知数n个方程AX=b，如果(A,b)~(E,x)，则A可逆，且x=A-1b;

　　4. 初等矩阵和对角矩阵的概念∶

　　①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定∶左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵∶

　　

　　5. 矩阵秩的基本性质∶

　　①、0≤r(Am×n)≤min(m,n);

　　②、r(AT)=r(A):

　　③、若A～B，则r(A)=r(B);

　　④、若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)∶(可逆矩阵不影响矩阵的秩)

　　⑤、max(r( A),r(B))≤r(A,B)≤r(A)+r(B);(※)

　　⑥、r(A+B)≤r(A)+r(B);(※)

　　⑦、r(AB)≤min(r(A),r(B)); (※)

　　⑧、如果A是m×n矩阵，B是nxs矩阵，且AB=0，则∶(※)

　　1、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解(转置运算后的结论);

　　Ⅱ、r(A)+r(B)≤n

　　⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)≥r(A)+r(B)-n;

　　6.三种特殊矩阵的方幂∶

　　①、秩为1的矩阵∶一定可以分解为列矩阵(向量)×行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;

　　

　　7.伴随矩阵：

　　　　

 

　　8. 关于 A矩阵秩的描述∶

　　①、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0;(两句话)

　　②、r(A)

　　③、r(A)≥n，A中有n阶子式不为 0;

　　9. 线性方程组∶ Ax=b，其中A为mxn矩阵，则∶

　　①、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程;

　　②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程∶

　　10. 线性方程组A=b的求解∶

　　①、对增广矩阵 B进行初等行变换(只能使用初等行变换);

　　②、齐次解为对应齐次方程组的解;

　　③、特解∶自由变量赋初值后求得;

　　11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程∶

　　

　　④、a1x1，+a2x2+…+anxn=β(线性表出)

　　⑤、有解的充要条件∶ r(A)=r(A，β)≤n(n为未知数的个数或维数)

　　4、向量组的线性相关性

　　1.m个n维列向量所组成的向量组A∶α1，α2，…，αm构成n×m矩阵A=(α1，α2.…，αm);

　　含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

　　2. ①、向量组的线性相关、无关⟺ Ax=0有、无非零解;(齐次线性方程组)

　　②、向量的线性表出⟺ Ax=b是否有解:(线性方程组)

　　③、向量组的相互线性表示⟺ AX=B是否有解∶ (矩阵方程)

　　3. 矩阵Am×n与Bi×n，行向量组等价的充分必要条件是∶齐次方程组Ax=0和Bx=0同解;(P101例14)

　　4. r(ATA)=r(A);(P101例15)

　　5. n维向量线性相关的几何意义∶

　　①、a线性相关⟺ a=0;

　　②、a;β线性相关⟺ a，β坐标成比例或共线(平行);

　　③、α，β,r线性相关⟺ α.，β,r共面;

　　6.线性相关与无关的两套定理∶

　　若α1，α2，…，αn， 线性相关，则α1，α2，…，αn，αn+1，必线性相关;

　　若α1，α2，…，αn 线性无关，则α1，α2，…，αn-1必线性无关;(向量的个数加加减减，二者为对偶)

　　若r 维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组 B∶

　　若A线性无关，则B也线性无关;反之若B线性相关，则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之∶无关组延长后仍无关，反之，不确定;

　　7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示，且A线性无关，则r≤s(二版P74，定理7);

　　向量组A能由向量组 B线性表示，则r(A)≤r(B); (P86定理3)

　　向量组A能由向量组 B线性表示

　　⟺ AX=B有解;

　　⟺ r(A)=r(A，B)(P85，定理2)

　　向量组 A能由向量组 B 等价⟺ r(A)=r(B)=r(A，B)(P85定理2推论)

　　8. 方阵 A可逆⟺ 存在有限个初等矩阵P1，P2.…，Pi，使A=P1P2…Pi;

　　①、矩阵行等价∶ A~B⟺ PA=B(左乘，P可逆)⟺Ax=0与Bx=0同解

　　②、矩阵列等价∶ A～B⟺ A0= B(右乘，Q可逆);

　　③、矩阵等价∶ A～B⟺ PAQ=B(P、Q可逆);

　　9.对于矩阵Am×n与Bi×n∶

　　①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等;

　　②、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;

　　③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;

　　④、矩阵 A的行秩等于列秩;

　　10.若Am×n，Bi×n，=Cm×M，则∶

　　①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵;

　　②、C的行向量组能由 B的行向量组线性表示，A"为系数矩阵; (转置)

　　11，齐次方程组 Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明;

　　①、ABx =0 只有零解⟹ Bx =0只有零解;

　　②、Bx=0 有非零解⟹ ABx=0一定存在非零解∶

　　12.设向量组B，∶b，b.，…，b可由向量组4.，。a，a，…，a，线性表示为∶(P110题19 结论)

　　(b1,b2,br)=(a1,a2,…,as)K(B= AK)

　　其中K为s×r，且A线性无关，则B组线性无关→r(K)=r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)

　　(必要性∶∶r=r(B)=r(AK)≤r(K)，r(K)≤r，.r(K)=r;充分性∶ 反证法)

　　注∶当r=s时，K为方阵，可当作定理使用;

　　13.①、对矩阵Am×n，存在Qm×n，AQ=Em。⟺ r(4)=m、Q的列向量线性无关;(P87)

　　②、对矩阵Am×n，存在Pm×n，PA=En ⟺ r(4)=n、P的行向量线性无关;

　　14. a1，a2…，ak，线性相关

　　⟺ 存在一组不全为0的数k1，k2，.…，ks，，使得k1a1+k2a2+…+ksαs=0成立; (定义)

　　

　　⟺ r(a1，α2，…，ar)

　　15.设m×n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为∶ r(S)=n-r;

　　16.若η∗为Ax=b的一个解，为Ax=0的一个基础解系，则η∗，

　　，线性无关;(P111题33 结论)

　　5、相似矩阵和二次型

　　1. 正交矩阵台ATA=E或A-1=AT(定义)，性质∶ 1 i=j

　　(i,j=1,2，...n);

　　①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTiaj= 0 i=j

　　②、若A为正交矩阵，则才A-1=AT也为正交阵，|A|=±1;

　　③、若A、B正交阵，则 AB也是正交阵;

　　注意∶求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化∶

　　2. 施密特正交化∶(a1，a2，…，ar)

　　

　　3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;

　　对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交;

　　4. ①、A与B等价⟺ A经过初等变换得到B∶

　　⟺ PA0=B，P、Q可逆;

　　⟺ r(A)=r(B)，A、B同型∶

　　②、4与B合同 ⟺ CTAC=B，其中可逆;

　　⟺ xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数;

　　③、A与B相似⟺ P-1AP=B;

　　5. 相似一定合同、合同未必相似;

　　若C为正交矩阵，则CTAC=B→ A~B，(合同、相似的约束条件不同，相似的更严格);

　　6. A为对称阵，则 A为二次型矩阵;

　　7. n元二次型xrAx为正定∶

　　⟺ A的正惯性指数为n;

　　⟺ A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC=E;

　　⟺ A的所有特征值均为正数;

　　⟺ A的各阶顺序主子式均大于0;

　　⟹ aij>0，|A|>0;(必要条件)